2015年12月24日(Thu)12:12

因数分解を丁寧に!基礎を徹底的に解説します!

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数学が苦手な方・もう一度数学を学びたいと思っている方のために、因数分解についてわかりやすくお話ししたいと思います。
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 ① x²+6x+5 の因数分解をしてみよう。

まずは試しに、x²+6x+5 の因数分解をしてみましょう。

...どうでしょう、できましたか?
おそらく多くの方が、x²+6x+5 = (x+1)(x+5) と解答できたのではないでしょうか。
わからなかった方も心配ありません。これからわかりやすく解説していきます。

では、解答できた方に質問です。どのようにして、その答えにたどりついたのでしょうか。
一般的な方法として、足して6、かけて5となる数の組み合わせを探してくるやり方があります。
けど、どうしてそのやり方で因数分解できるんだろう? そう思ったことはありませんか。
今回は、そんなちょっとした疑問に注目してお話していきたいと思います。


 ② そもそも「因数分解」ってなんだろう。

例えば問題文で「次の多項式を因数分解しなさい。」と言われたとき、どうすればいいんでしょうか。
因数分解といっても、やり方は一つとは限りません。ただ、すべての因数分解に共通するのは、因数分解によって複雑な式を簡単にできるということです。

次の式をみてください。
(x+1)(x+2)= x²+3x+2
この左辺の式を計算して、右辺の式を求めることを「展開」といいます。
「因数分解」とはこの丁度逆のことをして、数式をもうこれ以上は簡単に(細かく)できない、という形に直してあげることです。
たしかに、(x+1)(x+2)をこれ以上簡単に(細かく)することはできなさそうですよね。

 ③ x²+6x+5 を因数分解、の前に予想をたててみよう。

では、ここから実際に因数分解をしてみようと思います。でも、その前にひとつだけみなさんで予想をたててみてみてください。
それは例えば、x²+6x+5という式を因数分解したらどんな形の式になるんだろう、という予想です。ここで参考にしてもらいたいのが、②でみたように、x²+3x+2という式は(x+1)(x+2)に因数分解できるということです。
これをもとに、同じようなx²+6x+5という式は(x+a)(x+b)という形に因数分解できると予想してみましょう。

※このa,bには具体的な整数が入ります。

 ④ 予想をもとに因数分解

今、私たちはx²+6x+5=(x+a)(x+b)という形で因数分解できると予想してみました。ではさらに右辺の式を展開してみましょう。
x²+6x+5=(x+a)(x+b)={(x²+(a+b)x+ab}・・・A
もし本当に予想が正しいのなら、上のような式が成立するはずです。
では、ほんとうにこのようなa,bは存在するのでしょうか?

x²+6x+5={(x²+(a+b)x+ab}
Aの式の一部をとってきました。左辺と右辺を比べてみましょう。よくみると、(a+b)=6、ab=5をみたすようなa,bをみつけることができればよさそうです。
そして、このようなa,bについて、すこし考えてみると、1と5だと気づくことができるでしょう。
最後にa,bに1と5を代入して、たしかにx²+6x+5=(x+1)(x+5)と因数分解することができます。
足して6、かけて5の数の組み合わせを探すのは、このa,bの組み合わせを探すことと同じだったのです。

 ⑤ 実際に予想してから解いてみよう!

では実際に、次の2つの多項式を因数分解後の式を予想してから解いてみましょう。

1, x²+4x+4

2, x²-16

 ⑥ 問題の解説

1, x²+4x+4=(x+a)(x+b)と予想してみます。
 右辺を展開すると、x²+4x+4={x²+(a+b)x+ab}=(x+a)(x+b)です。式を見比べると、a+b=4、ab=4となるような(a,b)、つまりa=b=2ならばこの式は成り立ちます。
よって、答えはx²+4x+4=(x+2)(x+2)=(x+2)²です。

2, x²-16=(x+a)(x+b)と予想してみます。
 右辺を展開すると、x²-16={x²+(a+b)x+ab}=(x+a)(x+b)です。式を見比べると、a+b=0、ab=-16となるような(a,b)、つまりa=4,b=-4ならばこの式は成り立ちます。
よって、答えはx²-16=(x+4)(x-4)です。

因数分解とは、数式をより簡単な式に直してあげることです。
そして、因数分解をするときには、ぜひ予想をたててみてください。そうすることで、自分がどの値をもとめるべきなのかわからなくなったり、何をしているのかわからなくなることが少なくなります。
みなさんが数学をすこしでも簡単に感じてくれれば、うれしい限りです。

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慶應大学で経済学について勉強中。 自分は大学受験でとても苦労しました。その経験を踏まえ、これからの受験生にわかりやすく的確なアドバイスを送っいければと思っています。